[백준/Python] 11444번 - 피보나치 수 6

 

문제

https://www.acmicpc.net/problem/11444

 

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

 

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

 

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

 

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

 

입력

 

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

 

출력

 

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

 

 

풀이

 

피보나치 수열은

$$f_{n}= f_{n-1}+f_{n-2}$$

의 규칙을 가진 수열이다. 이를 행렬로 표현할 수 있는데,

​$$f_{n} = 1*f_{n-1} + 1*f_{n-2}$$

$$f_{n-1} = 1*f_{n-1} + 0*f_{n-2}$$

$$\begin{bmatrix} f_{n}\\f_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} f_{n-1}\\f_{n-2}\end{bmatrix}$$

위와 같이 행렬로 변환 할 경우 2차원 행렬의 n제곱과 f_1, f_0으로 f_n을 표현할 수 있다. 이를 이용해 시간을 줄여 문제를 풀었다.

 

 

 

Code

 

 

per=1000000007
A=[[1,1],[1,0]]
def fibo(n,relst):
    global per
    if n==1:
        return relst
    mid=n//2
    return_ans = [[0, 0], [0, 0]]
    save_ans = [[0, 0], [0, 0]]
    a=fibo(mid, relst)
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            for k in range(2):
                return_ans[i][j] += (a[i][k] * a[k][j])%per
    if n%2:
        for i in range(2):
            for j in range(2):
                for k in range(2):
                    save_ans[i][j] += (return_ans[i][k] * A[k][j])%per
        return save_ans
    return return_ans

N=int(input())
print(fibo(N,[[1,1],[1,0]])[0][1]%per)

 

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처음에는 점화식으로 표현했는데 시간이 너무 오래 걸렸었다...

 

11444번: 피보나치 수 6